原子力显微术（AFM）是20世纪80年代发展起来的一种表面探测技术，基本原理是利用带针尖的微悬臂探测针尖与样品之间的相互作用力，作用力的大小和性质会随针尖与样品间距离的变化而变化，从而得到样品的不同信息。AFM因检测对象广泛，不受导电性能的限制，适用性强（大气、真空、液体等环境下均可操作）及超高分辨率等优势而广泛应用于物理、化学、材料及生命科学等众多应用领域[1]。
传统AFM是一种静态模式成像，针尖与样品保持机械接触，忽略相互作用力的非线性特征，通过对小范围内相互作用势的线性化分析来完成样品性质的表征。因此，静态AFM存在许多缺陷如横向剪切力的作用会损坏针尖和样品的表面结构，空间分辨率低，样品组分探测不够灵敏等。基于这些因素，人们发展了动态AFM。动态AFM从悬臂静态偏转的探测转变为悬臂探针振荡的动态激励和探测，也就是说探针在扫描的同时对其施加一个固定频率（通常为第一本征共振频率）的激励，由于样品与针尖之间存在近程或远程的作用力，针尖可能会跨越较大范围的相互作用势能，提取针尖的观测量如振幅、相位、频率或微悬臂的偏转等，都可以获得样品的信息。利用闭环反馈控制（如PID控制）还可以获得高分辨的表面成像。动态AFM实现了微弱力的成像，尤其是在大气环境下，允许对软材料如DNA、蛋白质、细胞或聚合物等进行成像。此外，还可以实现与电学或磁学性质的同时检测。从这时起，AFM的主要工作模式有接触模式（contact mode）、振幅调制模式（又称轻敲模式，amplitude modulation or tapping mode）、频率调制模式（又称非接触模式，frequency modulation or non-contact mode）[2]。
尽管动态AFM被大量的应用于各个领域，但是其仍然存在一定的局限性如空间分辨率、量化测量和数据采集。对于非常软的材料，在大气、液体、超高真空下，原子级或分子级别的成像很难实现，同时，也很难将力谱的高灵敏度与分子级的分辨率结合在一起。为了追求更高的空间分辨率，更快的数据采集速度和材料表面成像，需要考虑两个原则：（1）样品属性的所有信息必须被编码在针尖的运动中；（2）悬臂的动态特性是高度非线性的，因此谐振和低阶本征模式成分是针尖运动不可或缺的部分。
传统的动态AFM仅对一个频率下的针尖进行激励和探测，而基频外的频率通常下较高且信号强度远小于基频部分，因此基频外的频率都被忽略了，所探测到的信号也仅是该基频下的物理参量如振幅、频率或者相位等，因此，包含在高频成分中的样品属性信息就丢失了。近年来，发展起来的多频原子力显微术（multi-frequency AFM, MF-AFM），为解决这些难题提供了一个新方向。MF-AFM[3-5]简单说就是激励和/或探测微悬臂探针在多个频率下的振动信号，然后探测这些振动信号来获得样品属性的一大类AFM技术，这些频率通常与微悬臂探针振动的高次谐振以及其高阶本征模式有关。本文介绍几种常见的MF-AFM显微技术。
双模式（bimodal AFM）
双模式 AFM[6-8]是利用两个激励力来激励微悬 臂探针的振动，激励力的激励频率通常设置在微悬 臂的两个本征共振模式下，其基本原理如下图所示，一般采用微悬臂的前两阶弯曲本征频率进行激励，一阶模式的振幅输出信号用于表面形貌成像(同传统 振幅调制 AFM)，二阶模式的输出信号(振幅或相位 偏移)用于对样品表面的力学、磁学以及电学性质等成像。双模式 AFM 的两个模式具有各自获取和分离 出材料性质的信号通道[9,10]，实现了直接将形貌与 其他影响针尖运动的相互作用力的分离。
双模式 AFM可以在小于 100 pN 的施加力下获得样品形貌和组成成分的图像。减少施加在样品上力，直接的方法是增加针尖-表面间距离，但这会降低样品形貌和/或耗散像的对比度，然而，双模式 AFM 在这些条件下仍可以分辨出观测 物体结构。此外，双模式 AFM 中的调幅-调频模式(AM-FM mode)可以用来研究样品的黏弹性等性质，利用两个 不同频率的激励信号来激励微悬臂振动，其中低频 的振动信号采用振幅调制模式来得到样品形貌， 而高频的振动信号采用频率调制模式来获得共振频率 和振幅，分别反映了样品的硬度(弹性)和能量耗散 (黏性)。
双模式AFM工作原理的示意图[11]
双频共振跟踪（DFRT）
传统的频率追踪是采用标准的锁相环技术实现的，其根本原理是在恒定的驱动力下，系统响应的幅值和相位与邻近共振间有直接的关系。基于此共振频率的追踪方法，相位探测必须满足激励信号相位独立于针尖的位置和驱动频率两个条件，否则无法解释其成像信号。大多扫描探针显微镜均是在微悬臂的共振频率下进行激励，信噪比很高，但也存在一定的困扰。例如压电响应力显微镜, 在微悬臂的接触共振下实验，增加了一个机械放大将有助于材料压电响应的探测，但同时，由于电畴方向的确定也依赖于驱动和响应的相对相位，这将会导致表面形貌和微悬臂相位间形成强烈的串扰，尤其当微悬臂操作在共振频率或其附近时，这个影响是无法确定的。因此发展了双频激励方法，在 PFM 和类似的技术中，允许基于幅值的共振频率追踪。
双频追踪技术[12], 其工作原理如下图 (a)所示, 是采用恒定激励振幅和 2 个激励频率(f1 和 f2，分别位于接触共振频率的两侧)进行激励，其偏转响应被数字化并送入 2 个分离的锁相放大器，作为驱动信号的参考，通过测量这 2个频率处的幅值 A1 和 A2，可以确定共振频率的变化并进一步去追踪共振频率。对于一个典型的表面，幅值-频率曲线如下图(b)中实线所示，测量驱动频率 f1，f2 处的响应幅值 A1 和 A2，两频率间的差 Δf= f2-f1 取值选为不小于 2 倍带宽，典型值大约在 1 kHz 以上。微悬臂幅值的典型值 A1 和 A2 为共振频率处的幅值的一半(Ar/2)，驱动频率的典型值选择在 A2-A1≈0，这不是一个必要条件。扫描过程中针尖与样品接触刚度的变化导致响应曲线的偏移，如下图(b)中虚线所示，当响应曲线变化时，幅值分别变为A1′和 A2′，共振频率的减小(增加)导致幅度信号的减小(增加)，使得幅值差 A2′-A1′<0 (A2′-A1′>0)，因此，将幅值差分信号可以作为反馈环的输入，为了保持幅值差为零，2 个激励频率 f2，f1是不断变化的，Δf 是一个 常数，对于一个对称的峰，共振频率被定 为 fc=(f1+f2)/2，实现了共振频率的追踪。基于多频激励的频率反馈有多种形式，包括被测幅值、相位、反相位和正交分量的更复杂的函数，微悬臂的偏转、横向和/或扭转运动。
DFRT AFM工作原理示意图[12]（a）和响应幅值-频率曲线图（b）
DRFT 技术，在恒定激励下，可以从所测量的幅值中量化阻尼和非保守针尖与样品间相互作用，但是对于 PFM，阻尼的确定需要其他频率处的测量，此外，还可以解决由于多铁材料中存在反平行畴区，克服了 PFM 的锁相环回路不稳定的问题等。
频率互调制（Frequency Intermodulation）
双模式激励的概念已被扩展到非共振频率，例如位于共振附近两侧的 2 个频率[12,13]。在这种情形下，当针尖靠近样品后，非线性的针尖-表面间相互作用力会产生一套激励频率影响下的新的频率集合，这些 新 的 频 率 被 称 为 互 调 制 分 量 (intermodulation products)。
如下图所示，这些分量在基础共振频率附近形成了一系列峰，其与 2 个激励频率的间距为 n(f2 -f1)，微悬臂在 2 个激励频率 f1 和 f2 驱动下的振动包含 2个激励频率的特征。下图(a)给出的是微悬臂探针在远离表面时的线性响应，下图(b)给出的是存在非线性针尖-表面间力时的微悬臂响应。互调分量依赖于针尖-表面间距离，因此也携带了样品局域性质的影响。虽然如此，为了明确新的频率集合与样品表面某个特定性质间的关系，还需要大量的理论工作。
频率互调制AFM示意图[13]
（a）微悬臂探针在远离表面时的线性响应；（b）存在非线性针尖-表面间力时的微悬臂响应
频带激励（Band Excitation）
频带激励法[14]是一种多频激励和探测方法，其目的是在获取样品形貌的同时获取变化的动力学曲线。除标准的锁相探测、锁相环探测以及扫频法外，频带激励法在某一频带范围内的全频率激励和响应检测给出了另外一条技术方案。频带激励引入了一个含有连续频率带的合成数字信号作为激励信号(具有确定的幅度和相位)，并在同一或更大的频率范围内检测微悬臂响应[15-19]，通过高速数据获取方法来对图像每一点处的微悬臂响应均进行检测并做傅里叶变换，如下图所示。在表面上的每一个点收集对应的振幅和频率曲线，存储成一个三维数据阵列，分析这些数据可以得到一些能够表征微悬臂行为的相关参数，例如，在单谐振子近似下，共振频率、振幅以及品质因子都可以通过卷积得到并存储起来作为 AFM 图像，在自适应控制下，这些参数还可以作为 AFM 的反馈信号。
频带激励法还可以和其他 AFM 技术如磁力显微术(MFM)、开尔文探针显微术(KPFM)等结合起来使用，并已用于压电力响应成像和谱学测量(piezoresponse force microscopy and spectroscopy)。特别是，频带激励通过区分出阻尼、杨氏模量以及力电响应的贡献，可以在液体环境下探测软生物材料的力电耦合响应。例如，2007年，Stephen Jesse 利用频带激励方法结合标准磁力显微技术对磁耗散进行成像[20]，详细内容介绍见论文中的能量耗散测量部分。
频带激励AFM的工作原理示意图[17]
高次谐振/高次谐波成像
高阶谐振的产生与针尖样品间相互作用力的非线性有关，已有许多实验和理论研究描述了振幅调制 AFM 中产生的高次谐波，其中一些工作也指出了范德华力和接触硬度对高次谐振部分的影响，也有人利用这些高次谐振来实验探索样品物性的成像或空间分辨率的提高，这些工作的核心是谐振与本征模式的耦合。在点质量模型下推导得出高次谐振的振幅随其谐振次数衰减，但应用于微悬臂梁时需要进行一些改动。例如，当高次谐振频率靠近某个本征共振频率时，基于共振放大效应，靠近某个本征模式的高次谐振振幅相对于其附近的高次谐振幅值会有明显的增强。因此，可以通过设计特殊的微悬臂来调谐本征模式频率与高次谐振频率的耦合，大幅提高所探测高次谐振信号的信噪比，实现高次谐振信号的探测[13]。
对于矩形微悬臂探针，如下图所示，给出了在基频激励下微悬臂的谐振频率，不同谐振的振幅大小受微悬臂共振模式的调制(如横轴上的箭头所示)，其二阶弯曲本征模式的频率ω2=6.27ω0，非常靠近其基频的6次谐振(6ω0)。当高次谐振的频率与微悬臂高阶本征模式的频率靠近或一致时，高次谐振实际上就成为了激励微悬臂高阶模式振动的有效激励力，即发生了共振，此时高次谐振的信号会得到显著增强。
微悬臂的本征模式频率主要由其几何模型及材料性质决定，通过改变微悬臂的几何模型，可以调谐悬臂的弯曲共振模式频率与基频成整数倍关系。
振幅调制AFM的一维微悬臂探针系统的频谱曲线
模式合成
模式合成 AFM[14, 22]将超声显微镜和动态 AFM的原理结合起来，可以用于得到生物或合成材料内部结构的图像。模式合成 AFM 技术的原理如下图所示，探针和样品由包含一系列已知频率分量的信号进行机械激励。基于这些频率分量，针尖-样品间的相互作用将合成出新的模式(signal S)。这些新的模式含有样品亚表面结构的信息。这一模式中，微悬臂探针有两个作用：首先是收集来自表面下的机械波产生亚表面结构的图像；其次是将机械波与自身频率相混合产生一套新的频率集合。基于这些振动模式，针尖-表面间相互作用力合成出新的振动模式，可以从探测信号 S 与频率的关系曲线上观测到。经过傅里叶变换可以获得探测信号的频率谱，新产生的频率分量反映了探针与样品间的纳米力学耦合，该耦合的核心是针尖-表面间相互作用力的非线性特征。新的合成振动模式的频率是激励微悬臂探针和样品频率的线性组合。信号 S 的振幅和相位通过锁相技术(参考信号为合成模式之一)获得，并可以进一步形成一幅图像。因此，每一个模式都可以形成一幅亚表面结构的图像，且每一幅图像展现出样品内部和/或表面结构的不同特征。
模式合成AFM工作原理的示意图[15]
微分法
在 FM NC-AFM 中，主要的测量信号是频率偏移Δf(Δf = f-f0)，其中微悬臂无针尖样品间相互作用时的自由振荡频率为 f0，当存在针尖与样品间相互作用时频率为一变量 f。频率偏移 Δf 与针尖样品间相互作用力相关，沿针尖与样品间距离 z 的频率偏移 Δf(z)曲线类似于相互作用力曲线，如下图中的绿线所示。在长程区域远离样品表面时，相互作用力几乎为 0。在接近样品时，长程范德华吸引力和静电力占主导地位，产生负的频率偏移 Δf，随着针尖样品间距离的减小，当排斥相互作用产生时有一频率偏移 Δf 的小值，继续接近样品，排斥力占主导地位，频率偏移 Δf 变为正值。当利用 Δf(z)作为反馈环的输入信号进行成像时，由于 Δf(z)斜率的变化，以及因环境引起的自由振荡频率的偏移需要不断调节，因此无法用一个标准的 PID 去实现稳定的反馈[2]。
为实现稳定的反馈，对频率偏移的求导得 Δf*(z) 曲线，如下图中的橙色虚线所示，有 1 个根恰与 Δf(z)小值处相对应，因此可以采用频率偏移的导数Δf*(z) 作为成像反馈的输入信号[32]。当保持 Δf*(z) =0，成像信号将绘制Δf(z)为小值的等值面，即对每一个横向点，Δf(z)小值的垂直位置，但由于 Δf(z)曲线斜率的变化，依赖于Δf*(z) 单调性的反馈通常不能获得沿 Δf(z)曲线的具体位置。
实验时，利用锁相原理可以直接获得频率偏移的导数：采用频率为 fmod，幅值为 Amod 的信号调制 Z向压电信号，然后利用锁相放大器测量频率偏移处响应振荡的幅值和相位。Z向调制技术已被用于从 Δf(z)曲线上快速识别不同的化学成分以及通过测量频率偏移中的高次谐振信号实现非线性 Δf(z)的快速还原。
微分法AFM的原理示意图[12]
参考文献
[1] Bhushan B. Springer Handbook of Nanotechnology: Scanning Probe Microscopy. 3rd ed. Berlin: Springer-Verlag, 2010
[2] Zheng Zhiyue, Xu Rui, Cheng Zhihai. Multi-frequency atomic force microscopy. Scientia Sinica Technologica, 2016, 46: 437-450
[3] López-polín G, Gómez-Navarro C, Parente V, et al. Increasing the elastic modulus of graphene by controlled defect creation. Nat Phys, 2015,
11: 26–31
[4] Garcia R. Amplitude Modulation Atomic Force Microscopy. Weinheim: Wiley-VCH, 2010
[5] Lim T C. The relationship between Lennard-Jones (12-6) and Morse potentialfunctions. Z Naturfors Sect A-J Phys Sci, 2003, 58: 615–617
[6] Collins L, Jesse S, Balke N, et al. Band excitation Kelvin probe force microscopy utilizing
photothermal excitation. Appl Phys Lett, 2015,106: 1–5
[7] Jesse S, Kumar A, Kalinin S V, et al. Band excitation scanning probe microscopies: Traveling through the Fourier space. Asylum Res, 2010,10: 16
[8] Ebeling D, Solares S D. Bimodal atomic force microscopy driving the higher eigenmode in frequency-modulation mode: Implementation, advantages, disadvantages and comparison to the open-loop case. Beilstein J Nanotech, 2013, 4: 198–207
[9] Martínez N F, Lozano J R, Herruzo E T, et al. Bimodal atomic force microscopy imaging of isolated antibodies in air and liquids. Nanotechnology, 2008, 19: 1–18
[10] Lozano J R, Garcia R. Theory of multi-frequency atomic force microscopy. Phys Rev Lett, 2008, 100: 1–4
[11] Martinez N F, Patil S, Lozano J R, et al. Enhanced compositional sensitivity in atomic force microscopy by the excitation of the first two flexural modes. Appl Phys Lett, 2006, 89: 1–3
[12] Rodriguez B J, Callahan C, Kalinin S V, et al. Dual-frequency resonance-tracking atomic force microscopy. Nanotechnology, 2007, 18: 1–15
[13] Platz D, TholénE A, Pesen D, et al. Intermodulation atomic force microscopy. Appl Phys Lett, 2008, 92: 153106
[14] Hutter C, Platz D, Tholen E A, et al. Reconstructing nonlinearities with intermodulation spectroscopy. Phys Rev Lett, 2010, 104: 1–4
[15] Garcia R. Images from below the surface. Nature Nanotechnol, 2010, 5: 101–102
[16] Jesse S, Kalinin S V, Proksch R, et al. The band excitation method in scanning probe microscopy for rapid mapping of energy dissipation on the nanoscale. Nanotechnology, 2007, 18: 1–8
[17] Mirman B, Kalinin S V. Resonance frequency analysis for surface-coupled atomic force microscopy cantilever in ambient and liquid environments. Appl Phys Lett, 2008, 92: 1–3
[18] Jesse S, Kalinin S V. Principal component and spatial correlation analysis of spectroscopic-imaging data in scanning probe microscopy. Nanotechnology, 2009, 20: 1–7
[19] CollinsL, Okatan M B, Li Q, et al. Quantitative 3D-KPFM imaging with simultaneous electrostatic force and force gradient detection. Nanotechnology, 2015, 26: 1–10
[20] Sader J E, Yousefi M, Friend J R. Uncertainty in least-squares fits to the thermal noise spectra of nanomechanical resonators with applications to the atomic force microscope. Rev Sci Instrum, 2014, 85: 1–5
[21] Stark M, Stark R W, Heckl W M, et al. Inverting dynamic force microscopy: From signals to time-resolved interaction forces. Proc Natl Acad Sci USA, 2002, 99: 8473–8478
[22] Tetard L, Passian A, Thundat T. New modes for subsurface atomic force microscopy through nanomechanical coupling. Nature Nanotechnol, 2010, 5: 105–109
